Coxeter群是一类由生成元和生成关系定义的群，是李理论、表示论、组合学、几何群论等诸多数学分支的重要研究对象。它的群代数可形变为等参或非等参的Hecke代数，以Laurent多项式为系数。现美国科学院院士、Wolf奖得主George Lusztig在其1985年发表的论文《Cells in affine Weyl groups》中利用等参Hecke代数典范基乘法展开的系数定义了Coxeter群上的一个函数，称为a-函数。该函数取值为自然数，刻画了相应元素在不同乘法展开中所带的系数作为Laurent多项式次数的范围。在同一论文中，Lusztig证明了a-函数在仿射Weyl群上有界，这是一类特殊的Coxeter群。现中国科学院院士、陈省身数学奖得主席南华在1994年的专著《Representations of Affine Hecke Algebras》中猜测，a-函数在任何有限秩的Coxeter群上都有界。同时，他猜测Coxeter群的有限抛物子群最长元长度的最大值（姑且记为N）就是这个上界。2003年，Lusztig在专著《HeckeAlgebras with Unequal Parameters》中把相关概念推广到非等参Hecke代数上，并提出了相应版本的有界性猜想，是席猜想的推广。

该有界性是许多研究的基础。若a-函数的上界存在（不需要为N），Hecke代数的乘法结构可以得到比较好的“控制”，进而可以良好定义相应的基环，Lusztig提出的关于等参Hecke代数的十多个猜想也随之成立。因此，a-函数有界性猜想广受学界关注，先后在数个特殊情形下得到证明。但是，此前的证明大多使用代数的方法，高度依赖于特殊情形下群的结构，难以推广到一般情形。

数学学院副教授胡泓昇与上海师范大学副教授陈晓煜采用新的方法证明了上界的存在性。Coxeter群有一个特殊的表示，称做几何表示。该表示承载着Coxeter群丰富的组合和几何结构，如根系、Tits锥等。Hecke代数基元素的乘法在几何表示空间中被翻译成Tits锥上的一条路径。而乘法展开中出现的每个系数，他们沿着这条路径，利用表示空间中的仿射几何精细地构造了一个超平面的集合，称作相交集，该集合中超平面的数量与相应系数的次数相等。相交集的构造是证明中最困难的部分。有了相交集后，由根系的一些理论可知任一相交集中超平面的相对关系只有有限多种可能。借助图论中著名的Ramsey定理可推得，存在一个Ramsey数N’（可能大于上文的N），若相交集中的超平面数量超过N’，则必存在足够多的超平面具有“一致”的相对关系。再用一点线性代数的知识可知，与这些超平面垂直的向量线性无关，这导致表示空间里无法容纳这么多的向量，得到矛盾。因此常数N’是相交集中超平面数量的上界，进而也是a-函数取值的上界。结论适用于由等参和非等参的Hecke代数定义出的a-函数。

相关研究论文《Boundedness of Lusztig's a-function for Coxeter groups of finite rank》近日获期刊《Inventiones Mathematicae》在线发表，该期刊被誉为数学四大顶级刊物之一，聚焦数学各分支具有深远影响的原创性成果，每年刊发论文70余篇。胡泓昇为通讯作者，湖南大学为通讯单位。

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论文链接：https://doi.org/10.1007/s00222-026-01453-1

来源：数学院

通讯员：徐莆苒

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